Це не найвідоміше число в математиці, всі знають про число пі, експоненту або золоте відношення. А от просто корінь з двох, навіть не заслужив власної назви. Проте в цьому числі є багато цікавого.
Корінь квадратний з двох
Тож звідки взагалі береться таке дивне число і чому ми не записуємо його в нормальному вигляді, а пишемо √2?
Справа в тому, що «корінь квадратний з двох» – це ірраціональне число. Тобто його неможливо записати у вигляді простого дробу m/n. Тобто m не ділиться на n без остачі. І коли немає дробу, то в десятковому вигляді це число буде безкінечно довгим.
На скільки дорівнює корінь з двох?
1,4142135623730950488016887242096980785696…
Або з точністю до четвертого знака після коми:
1,4142
Звідки ж береться таке незручне число? З геометрії.
Якщо взяти квадрат із стороною, рівною одиниці, і провести в ньому діагональ, то довжина цієї діагоналі і буде дорівнювати √2.
Тобто ми можемо безкінечно точно обчислювати довжину діагоналі такого квадрата, але ніколи не отримаємо точного значення.
Якщо довжина сторони квадрата – це a, то за теоремою Піфагора можна обчислити і довжину діагоналі с:
a2+a2=с2
Поки все правильно і здається нескладним. Ось тільки, давайте спробуємо обчислити довжину діагоналі… Не вийде!
Хто відкрив корінь з двох?
Є така легенда:
Дуже давно, у 6 столітті до нашої ери один з учнів Піфагора розв’язував задачу про діагональ квадрата за допомогою теореми Піфагора.
Але квадрат був незвичайним, зі стороною, рівною одиниці.
Отже:
a2+a2=c2 – сума квадратів сторін квадрата дорівнює квадрату діагоналі
Якщо сторона квадрата a=1, то 12+12=c2
Отже, 22=c2, отже діагональ c=√2
Все було б нічого, але ось тільки піфагорейці були не зовсім вченими, а скоріше релігійною сектою. Вони вірили, що все в світі може бути виражено через числа, а самі числа мають містичні властивості. Вони вважали, що все в світі можна виразити через цілі числа.
Поява ірраціонального числа, тобто такого, яке навіть неможливо точно обчислити, викликала такий шок у піфагорейців, що вони утопили того, хто відкрив перше ірраціональне число.
Але це лише легенда.
Насправді давнім математикам піфагорейської школи належить не тільки відкриття числа «корінь з двох», але й доведення його ірраціональності і навіть методика розрахунку за допомогою апроксимації.
Що таке ірраціональні числа
Корінь з двох – перше ірраціональне число. Але є й інші.
Ірраціональне число – це число, яке неможливо представити у вигляді дробу m/n, якщо і m і n – цілі числа, при цьому n не дорівнює нулю. Простими словами, в десятковому вигляді таке число має довгий безкінечний хвіст після коми, числа в якому не повторюються циклічно.
Ще простіше – таке число неможливо точно обчислити, можна лише безкінечно наближатися до його значення.
Узагальнено слово «раціо» означає відношення. Тобто раціональні числа можна виразити за допомогою дробу, а ірраціональні – ні.
Найвідоміші ірраціональні числа:
Число пі – відношення довжини кола до його радіусу, тобто L/D. Дорівнює пі приблизно 3,142857142857143…. Нам відомо 62,8 трильйона знаків після коми!
Число е – Це ж число Ейлера або основа натурального логарифма. Дорівнює число е приблизно 2,71828182845904523536… З’явилося як результат розв’язання задачі про складні відсотки. Розраховано до 31 трильйона знаків після коми
Число ϕ – або «золоте перетинання» або «божественне відношення». Число фі дорівнює приблизно 1,618033988… Використовувалося давніми архітекторами та художниками для створення красивих і правильних пропорцій своїх творінь. У природі зустрічається дуже часто.
√3 і √5 також є ірраціональними числами
Що цікавого в ірраціональних числах?
Якщо помножити два ірраціональних числа, можна отримати як ірраціональне, так і ціле число
Ірраціональних чисел більше, ніж раціональних
Ми частіше зустрічаємося з раціональними числами, тому мало помічаємо ірраціональні
Кількість ірраціональних чисел безкінечна
Вперше люди стикнулися з ірраціональними числами в геометрії. Розрахунок довжини діагоналі квадрата не завжди може бути точним, а відношення довжини кола до діаметру – ніколи. Далі в розрахунках почали з’являтися «неправильні» і «незручні» числа, які неможливо виразити в десятковому вигляді точно.
Цікаві факти про корінь з двох:
√2 – перше виявлене ірраціональне число в історії
√2 х √2 = 2
√2 – використовується в музиці в системі рівномірної темперації, щоб гітара або піаніно могли грати у всіх тональностях
√2 – використовується для розрахунків в 3D графіці та 3D іграх для розрахунку відстаней та нормалізації векторів
Це число також називають «Константа Піфагора», хоча сам Піфагор до нього не має відношення
Відношення довжини великої сторони до меншої в папері формату А4 дорівнює √2 (з точністю до 4 знаків). Зроблено так для того, щоб при складанні аркуша по полях пропорції його зберігалися
Отже, корінь з двох було першим ірраціональним числом, але не стало найвідомішим, оскільки використовується досить рідко. У його більш успішних конкурентів (π або е) навіть є власні свята в календарі.
Проте саме корінь з двох розбив математику давніх греків, одночасно відкриваючи нову сторінку в математиці – ірраціональні числа.