Історія
До появи логарифмів життя у математиків (і всіх, кому доводилося багато рахувати) було складним.
Множення і ділення великих чисел, видобування коренів і степенів було дуже важким. Доводилося повторювати багато операцій багато разів.
Хто вигадав логарифм
Логарифми вигадав шотландський математик Джон Напір на початку 17-го століття. Саме він написав трактат “Опис дивовижного закону логарифмів”. У цій роботі він показав, як перетворити множення у додавання, а ділення – у віднімання за допомогою логарифмів.
Як? Замість того, щоб помножити два великі числа, потрібно:
Спочатку знайти їх логарифми. Потім додати їх. А потім зворотнім перетворенням отримати результат.
Наприклад: потрібно помножити два числа 1234 × 5678.
Множення в стовпчик вимагатиме багато операцій. Це тривало і є ризик зробити помилку. Ви можете порахувати прямо зараз, результат буде 7006652.
Насправді потрібно 28 операцій множення і додавання, щоб помножити два чотиризначні числа.
От як можна зробити логарифмами:
1. Обчислюємо десяткові логарифми кожного числа:
log10(1234) ≈ 3,0913 log10(5678) ≈ 3,7542
2. Сумуємо логарифми:
3,0913 + 3,7542 = 6,8455
3. Знаходимо число, що відповідає логарифму 6,8455.
10^6.8455 (десять у степені 6,8455) ≈ 7006652
Ось так “легко”. Всього 3 дії замість 28!
Але як відповісти на питання, у яку степінь потрібно піднести 10, щоб отримати 5678? Як взагалі це порахувати? Чи стало простіше?
Дуже просто. Непер створив логарифмічні таблиці. Тобто порахував все наперед. У його трактаті були розраховані логарифми синуса, косинуса і тангенса, те, що потрібно було астрономам.
Палички Непера
Ще одне винахід Непера можна назвати першим калькулятором. Відомі палички Непера (або кістки Напера) – набір з дошки і паличок зі значеннями, які дозволяли множити і ділити дев’ятизначні числа.
Для цього потрібно просто правильно розкласти палички на дошці і порахувати цифри в правильному ряді.
Наприклад: щоб помножити 836 на 3, потрібно додати палички під номерами 8, 3, 6 і подивитися на рядок 3.
Читаємо справа наліво суми в діагоналях:
Найправіше число – 8
Додаємо цифри в другій діагоналі справа – 9+1 =10. Записуємо нуль і 1 переносять ліворуч
Додаємо цифри в наступній діагоналі – 4+0+1 (додаємо одиницю, перенесену з лівої діагоналі)
Остання діагональ – 2
Відповідь: 836 х 3 = 2508
Фактично, це множення решіткою або Індійський метод множення. Тільки все зроблено наперед і досить просто правильно розкладати “палички”.
Фактично, палички Непера – це таблиця множення в іншій формі. Замінює множення (все вже помножено) на додавання. Єдине, розмножувати зручно та швидко, а ділити – ні.
Логарифмічна таблиця
Метод Непера – все порахувати наперед, був одразу прийнятий всією науковою спільнотою. Багато математиків почали створювати свої логарифмічні таблиці.
Ось як працює логарифмічна таблиця:
Наприклад, потрібно помножити два числа: 120 × 23.
Число
log₁₀ (чисел)
1,00
0,0000
1,10
0,0414
1,20
0,0792
1,30
0,1139
1,40
0,1461
1,50
0,1761
1,60
0,2041
1,70
0,2304
1,80
0,2553
1,90
0,2788
2,00
0,3010
2,10
0,3222
2,20
0,3424
2,30
0,3617
2,40
0,3802
2,50
0,3979
У таблиці знаходимо відповідні десяткові логарифми:
120=1,20×102 – log₁₀(1,20) = 0,0792
23=2,30×101 – log₁₀(2,30) = 0,3617
Застосовуємо те саме дивовижне властивість логарифмів, про яку писав Непер:
log(ab)=log(a)+log(b) – добуток двох чисел дорівнює сумі логарифмів цих чисел!
Тільки потрібно не забути додати степені, оскільки в таблиці у нас були інші числа:
log(120)=0,0792+2=2,0792
log(23)=0,3617+1=1,3617
Сумуємо:
2,0792+1,3617=3,4409 – це ми знайшли степінь числа 10.
103,4409= ?
Потрібно знову подивитися в таблицю логарифмів і дізнатися, що:
103,4409 ≈ 2759
Точне значення 120 × 23 = 2760, при використанні таблиці логарифмів отримувалася похибка, але це було невеликою ціною за спрощення обчислень у рази.
Отже, використовуючи властивості логарифма можна замінити складне та втомлююче множення простим і веселим додаванням! Все ж, множення – це те саме, що і додавання! Наприклад 2 х 3 це те саме, що 2+2+2 або 3+3.
Але можна не обмежуватися лише множенням і створити логарифмічні таблиці для інших операцій. Для видобування коренів, піднесення до степені, тригонометричних функцій та багато іншого.
Логарифмічна лінійка
Ідемо далі по шляху спрощення. Якщо можна порахувати наперед результат множення, то можна зробити те саме для будь-яких інших складних обчислень. Ось і з’явилася логарифмічна лінійка.
Логарифмічна лінійка – це також рахунковий прилад. Якщо взяти дві лінійки, нанести на них значення і рухати відносно одна одної, можна проводити швидкі обчислення!
Так само, як і в разі з таблицею, всі значення пораховані наперед. Тільки замість цифр використовуються поділки на шкалі.
Користуватися логарифмічною лінійкою просто. Наприклад, для множення двох чисел:
Потрібно збігати початок рухомої частини лінійки з першим числом
Знайти друге число на рухомій частині
Подивитися, яке число знаходиться навпроти – це буде результат
Точно так само можна за допомогою такої лінійки:
Множити та ділити
Підносити до степеня і видобувати корені
Множити та ділити на число пі
Знаходити значення тригонометричних функцій
Перетворювати різні величини (наприклад фути в сантиметри)
Багато чого іншого
Все залежить від того, які саме поділки шкали нанесені на лінійку. Дуже просто і дуже ефективно. Але точність обчислень буде не такою великою через обмеження точності самої шкали. Просто дуже важко розрізняти дрібні поділки на око.
Щоб мати можливість множити числа, шкала такої лінійки зроблена не лінійною, як зазвичай, а логарифмічною.
Логарифмічна шкала
Логарифмічна шкала – це така шкала, де кожне наступне поділе пропорційно не сумі, а добутку. Простими словами, на лінійній шкалі поділки будуть звичними: 0, 1, 2, 3… Тобто кожного разу ми додаємо одиницю.
А на логарифмічній: 1, 10, 100, 1000… Тобто кожне наступне значення буде більше не на один раз, а у 10 разів!
Шкала може бути і іншою. Наприклад: 20, 21, 22, 23 або 1, 2, 4, 8… Тобто кожне поділе в два рази більше попереднього.
Це зручно, коли різниця між значеннями дуже велика (або дуже маленька) і важливо бачити не наскільки це більше, а во скільки разів це більше.