Ви, звісно, знаєте, що означає фраза “в середньому”. Будь-хто розуміє, що таке “середнє значення”. Проте не кожен знає, що середнє може бути різним! І в різних ситуаціях одне середнє буде правильним, а інше – ні, хоча набір даних однаковий. Розуміння того, що таке середнє – просто. Ось високе дерево, а от низьке, і це – середнє. У школі нас навчають, як знайти середнє значення. Теж просто: зібрали всі значення, що є, і поділили на кількість цих значень. Це називається “середнє арифметичне”. Почнемо з самого простого.
Середнє арифметичне
Це саме середнє, про яке говорили нам у школі. Здавалося б, все просто:
Сумуємо всі значення
Ділимо на їх кількість
Отримуємо середнє значення
Коли можна використовувати
Тільки якщо значень дуже-дуже багато. Середня температура за літо – це нормальний показник, а от середня температура за два дні – ні.
Дані повинні бути однорідними*
Також дані, які потрібно усереднити, повинні бути близькими за значенням, інакше “середнє” стає непотрібним.
Справа в тому, що середнє арифметичне дуже погано реагує на так звані “викиди”. Тобто на ситуації, коли одне зі значень аномально велике або мале. І в реальному житті це часто трапляється.
Приклад: Середня зарплата в офісі
Припустимо, що в компанії працює 10 чоловік. Дев’ять з них отримують 100 доларів, а от десятий (великий начальник) отримує 10 тисяч.
Виходить, що середня зарплата – 1090 доларів (червона лінія на графіку). Проте насправді ніхто не отримує стільки! Прості працівники заробляють у 10 разів менше, а їх керівник – у 10 разів більше!
Середнє арифметичне в такій ситуації взагалі стає непотрібним показником. Така ситуація добре описується класичним висловом “середня температура по лікарні” – цікаво, але безглуздо.
Для таких випадків існує інше середнє значення – медіана (жовта лінія на графіку).
Що таке медіана
Медіана – це буквально “значення з середини” ряду чисел. Щоб дізнатися медіанне значення, потрібно просто вибрати значення, яке знаходиться на однаковій відстані від найменшого і найбільшого значення в ряді чисел.
Медіана – означає посередині
Наприклад:
У нас є значення 30, 80, 90, 65, 44, 180, 50.
Потрібно впорядкувати цей ряд від меншого до більшого
Вибрати середину
30, 44, 50, 65, 80, 90, 180.
Медіанне значення – 65. Саме воно знаходиться в середині ряду чисел. А от середнє арифметичне для цих даних буде – 77.
У прикладі з середньою зарплатою потрібно використовувати медіану, вона дає краще уявлення про реальні доходи. Медіаною зарплатою буде саме 100 доларів.
Мода
Мода – це просто значення, яке зустрічається частіше за все. У прикладі з зарплатою, мода – це 100, так само, як і медіана.
*Однорідність даних – це важливо. Не можна при вимірюванні середнього зросту приймати до уваги баскетбольну команду вашого містечка. Або включати в розрахунки середньої зарплати робітників, топ-менеджерів навіть, які працюють в тій же компанії.
Середнє геометричне
Ще одне корисне середнє. Частіше використовується для оцінки пропорційних значень, наприклад, темпів зростання чогось.
Щоб розрахувати середнє геометричне, потрібно помножити всі значення і взяти корінь такої степені, скільки значень ми оцінюємо. З прикладу буде зрозуміло, як це робиться.
Наприклад, оцінка доходності інвестицій
Припустимо, що в перший рік ми отримали прибуток в 50%, в другий – 20%. Ну, а в третій рік втратили -25%. Рахуємо три значення, отже корінь будемо брати з трьох.
Коефіцієнти зростання:
1,5
1,2
0,75
Геометричне середнє: 1,5 х 1,2 х 0,75 = 1,35. А кубічний корінь буде дорівнювати ≈1,105. Тобто середній приріст доходності інвестицій 10,5% в рік.
Середнє арифметичне в цьому випадку показало б 15% доходності.
І це неправильно, і це легко перевірити. Припустимо, що інвестиція це 1000 доларів.
Перший рік: 1000+1000 х 1,5=1500
Другий рік: 1000+1000 х 1,2=1800
Третій рік: 1000+1000 х 0,75=1350
За три роки прибуток склав 350 доларів. Якщо поділити 350 на 3, отримаємо 11,7%, що набагато ближче до середнього геометричного, ніж арифметичного.
Середнє гармонічне
Можна сказати, що це середнє арифметичне навпаки. Тут потрібно ділити не суму значень на їх кількість, а навпаки – кількість ділити на суму “зворотних значень”.
Приклад середнього гармонічного
Якщо є три числа: 2, 5 і 8 їх середнє гармонічне розраховується так:
3/(1/2+1/5+1/8)= 3/(0,5+0,2+0,125)≈3,64
Середнє гармонічне зручно використовувати для розрахунку середньої швидкості.
Припустимо, що машина проїхала відстань у 100 кілометрів в одну сторону зі швидкістю 100 км/год, а назад – зі швидкістю 50 км/год. Яка була середня швидкість?
Якщо застосувати шкільну арифметику, то: (100+50)/2=75 км/год
А якщо використати середню гармонічну:
Беремо “зворотні” значення швидкостей 1/50 і 1/100
Сумуємо 1/50+1/100=0,02+0,01=0,03
Кількість спостережень (2) ділимо на 0,03. Отримуємо 66,7 км/год
Перевіряємо:
Шлях туди зайняв: 100/50=2 години
Шлях назад зайняв: 100/100= 1 година
Усього туди-назад: 2+1=3 години
Загальна відстань:100+100=200 км
Середня швидкість на 200 км шляху: 200/3=66,7 км/год
Ну ніяк не 75 кілометрів на годину, якби ми порахували “звичайним способом”. З використанням формули середньої гармонічної величини розраховується середня шляхова швидкість.
Це правильно, оскільки при розрахунку враховується час подорожі (як у перевірці вище), тобто розрахунків середню шляхову швидкість ми врахуємо такі “дрібниці”, як простої і затримки.
Середнє зважене
Це таке середнє значення, де у кожного параметра є своя певна вага. Тобто одне значення може бути важливіше, ніж інше.
Наприклад, потрібно порахувати середню оцінку по предметах, але деякі предмети менш важливі, ніж інші. Або розрахувати середньозважений курс валют. Для цього потрібно:
Помножити суму кожного параметра на його вагу
Просумувати
Поділити на суму ваг, а не на кількість параметрів
Фізика – оцінка 4, а вага (тобто важливість оцінки) 3
Математика – 3, вага 3
Біологія – 5, вага 1
Середнє взважене = (4х3 + 3х3 + 5х1) / (3+3+1) = (12+9+5)/7 = 3,7
Середнє арифметичне тих же оцінок було б іншим – 4.
Інший приклад: середньозважений курс валют
Припустимо, що протягом трьох днів ми купували перуанське соль за багамські долари.
Перший день – 1000 S/ за курсом 3,2
Другий день – 3000 S/ за курсом 3,1
Третій день – 2000 S/ за курсом 3,4
Потрібно об’єм валюти кожного дня помножити на курс, і цю суму поділити на суму обсягів за кожен день. Так ми врахуємо курс покупки за кожен день.
Середньозважений курс: (1000х3,2 + 3000х3,1 + 2000х3,4) / (1000+3000+2000) = 3,217
Інші середні
Це, звісно, не всі середні величини, які використовуються в статистиці, математиці або фізиці.
Є ковзаюче середнє, коли потрібно згладити якийсь “скачучий” графік, наприклад, фінансовий.
Емпіричне середнє (іноді його називають вибіркове середнє) – коли у нас немає цілого набору даних, а є лише фрагмент, але ми вважаємо, що середнє значення цього фрагменту буде приблизно рівним серед