Число е – дуже загадкова константа. На відміну від "пі" абсолютно неочевидно, звідки воно походить і що насправді означає. І абсолютно неочевидно, якими саме "магічними" властивостями воно володіє, коли це число одне з найпопулярніших. Що таке число е. Число е – це постійна Ейлера. Поки все виглядає досить просто, є якась наступна константа. Але ось питання, звідки воно береться? Наприклад, число пі – це відношення довжини кола і його діаметра. Зрозуміло і просто. А от число е – це основа натурального логарифму… Тобто його походження трохи загадкове, ця константа з’явилася не з геометрії, де, щоб зрозуміти суть, досить побачити. Тут все трохи складніше, але цікавіше. Натуральний логарифм ln x – це такий логарифм, основою якого є число е. Тобто мовою математики: ln x = loge x. Але математики люблять все скорочувати, тому частіше використовують запис ln x. Чому писати зайві символи, якщо все вже зрозуміло? Якщо зі скороченнями все ясно, то з самим числом поки що ні. Щоб зрозуміти, що таке число е, треба згадати історію його відкриття. Звідки взялося число е. Це дуже дивно, але вперше відкрив число е Якоб Бернуллі, а не Ейлер. Бернуллі розв’язував завдання про нарахування складних відсотків. Ось в чому суть: В банк поклали 1 долар під 100% річних (такі цифри взяті для простоти, множити на одиницю завжди дуже просто, знати таблицю множення не потрібно). Якщо відсотки будуть нараховуватися в кінці року, клієнт банку заробить 2 долара. Все зрозуміло. Але якщо нараховувати відсотки частіше? Наприклад, раз на квартал або кожен місяць? Ще ще частіше, ніж раз на місяць? Якщо нарахувати відсотки два рази на рік, і суму нарахованих відсотків додавати до вкладу, очевидно, що дохід клієнта збільшиться. Просто математика: Пройшло 6 місяців, банк нарахував 100% річних за півроку. Це 100/2=50%. Тобто 10,5=0,5 і ці 0,5 додаються до початкової суми вкладу. Пройшов рік, банк знову нарахував 100% річних за півроку, але вже не від 1 долара, а від 1,5. Це 1,50,5=0,75. Додаємо до початкової суми 1+0,5+0,75=2,25. На 0,25 більше, ніж було з варіантом без капіталізації та виплатою раз на рік. Магія складного відсотка, насправді дуже проста. Раз складні відсотки, це добре (але тільки якщо мова йде про депозит, а не кредит), то потрібно отримувати виплати якомога частіше. Звісно, додаючи їх до суми вкладу. Раз на рік. Вклали 1 долар, заробили 2 при 100% річних. Два рази на рік – 2,5, а це вже 125%, а не 100%! Чотири рази на рік – 2,44! Кожен місяць – 2,61, і вже 161,3%! Чим частіше капіталізуються відсотки за вкладом, тим краще для нас. Тоді давайте попросимо банк виплачувати дохід кожен день, а краще кожну годину! Щоб не рахувати щоденні виплати, а тим більше щогодинні, треба вивести формулу складного відсотка. Ось вона: $1(1+1/n)n Звідки вона береться? Ось приклад, виплати відсотків два рази на рік: (1+1/2)(1+1/2) Тут ми беремо одиницю і додаємо до неї одину другу, тому що виплати відбуваються 2 рази на рік, а ставка у нас 100% річних (сто відсотків, це одиниця), отже потрібно ділені на пів. А якщо виплати буде 4 рази на рік, то на 4 (1+1/4)(1+1/4)(1+1/4)(1+1/4) Отже отримуємо формулу: Х(1+1/n)n Де n – це кількість періодів, на які ми розбиваємо виплати. Зручно порахувати складний відсоток для щомісячних платежів і навіть для щоденних: $1(1+1/12)12=2,61 $1(1+1/365)365=2,71 А якщо виплачувати раз на годину? $1(1+1/36524)36524=2,7181 А якщо кожну хвилину? $1(1+1/3652460)3652460=2,7183 Ось тільки є одне але. Якщо уважно подивитися, то виявиться, що доходність зростає не так швидко, як хотілося б. Так, при капіталізації кожен місяць ми отримуємо більше, ніж при виплаті чотири рази на рік. При щоденній капіталізації ще більше. Але якщо продовжувати ділити на більш дрібні періоди, доходність перестає зростати так само швидко, як раніше. Доводиться записувати все більше чисел після коми, щоб побачити, що щось змінюється взагалі. Якщо говорити про гроші, то різниця між щоденною виплатою і виплатою кожну годину складає 0,0056%, тоді як різниця між виплатою два рази на рік і чотири рази на рік – 7,8%. Іншими словами, в касі банку ми отримаємо 2,66 долара у випадку виплат 12 разів на рік, 2,72 у випадку щоденної капіталізації і 2,72 у випадку капіталізації раз на хвилину. Якщо піти далі і нараховувати відсотки раз на секунду, вийде знову 2,72. Просто тому, що дрібнішої монети не існує. Насправді дохід буде продовжувати зростати і далі, але все повільніше і повільніше. Дохідність в цьому прикладі буде упиратися в межу, рівну 2,718281828459… Мовою математики lim(1+1/x)x – при х, що стремиться до нескінченності Простими словами, якщо ми не будемо збільшувати значення х, навіть якщо воно буде нескінченно великим, границя функції буде рівна 2,71828182845… ми будемо нескінченно довго збільшувати це значення, воно буде збільшуватися, але з кожним кроком все повільніше. Число е – це значення границі цієї функції. Тобто е=lim(1+1/x)x при х → ∞ Тепер зрозуміло, звідки взялося число е. Принаймні ясно, як це число з’явилося спочатку. Але що до цього Леонард Ейлер, якщо число е відкрив не він, а Бернуллі? Просто Ейлер вперше використовував букву е в своїх роботах. Тобто замість нескінченного ряду цифр, він записав число однією літерою. Чому число е трансцендентне і ірраціональне, як і число пі. У Якоба Бернуллі в розрахунках це число обмежувалося одним знаком після коми. І такої точності було досить. Ейлер розрахував число е з точністю до 23 знака після коми: е=2,71828182845904523536028 А от Джон фон Нейман за допомогою комп’ютера в 1949 році досяг точності до 2010 знаків після коми. Цікаві факти Число е – ірраціональне. Це нескінченний десятковий дріб приблизно рівний 2,71. Число знаків після коми в цьому числі є нескінченним. Число е – трансцендентне число, воно не може бути коренем алгебраїчного рівняння. Послідовність чисел у числі е випадкова. Це означає, що в нескінченному його "хвості" можна знайти будь-які комбінації цифр. Неформальне свято числа Ейлера відзначається 7 лютого. Тому що в американській традиції запису дат це 2/7 В двійковій системі число е буде записуватися так 10,10110… Теж нескінченний дріб. В будь-якій системі числення. Похідна від експоненціальної функції дорівнює самій собі. Це унікальна властивість такої функції. f(x)’=dex/dx=ex Це означає, що швидкість зміни такої функції в будь-якій точці завжди рівна значенню цієї функції. Простими словами, на скільки ми змінюємо значення функції, рівно настільки ж змінюється швидкість її зміни. Наприклад, чим далі ми намагаємося рухатися, тим сильніше опір середовища, або чим частіше вимагаємо виплачувати відсотки, тим повільніше збільшується кінцева доходність. З іншого боку, інтеграл від експоненціальної функції також дорівнює самій функції плюс константа. ∫ex dx = ex + C Простою мовою функція ex не змінюється ні при інтегруванні, ні при диференціюванні. Де використовується число е Число е можна зустріти в першу чергу там, де